人教专题3.8 函数与方程 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题3.8 函数与方程
新课程考试要求
理解函数零点的概念.
核心素养
培养学生数学抽象（例1）、数学运算（例3.4.5等）、逻辑推理（例5.6）、数据分析（例3.4）、直观想象（例2.7--11）等核心数学素养.
考向预测
1．分段函数与函数方程结合；
2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.
3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.
【知识清单】
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
【考点分类剖析】
考点一：求函数的零点
【典例1】（2021·全国高三其他模拟）设，定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或或
【答案】C
【解析】
根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.
【详解】
解：当时，方程可化为，
化简得，解得；
当时，方程可化为，无解；
当时，方程可化为，
化简得，解得（舍去）或；
综上，方程的解是1或.
故选：C.
【典例2】（2020·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则　 　．
【答案】4
【解析】
作出函数的图象，
方程有四个不同的实数解，
等价为和的图象有4个交点，
不妨设它们交点的横坐标为、、、，
且，
由、关于原点对称，、关于对称，
可得，，
则．
故答案为：4．
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,
【变式探究】
1.（2019·四川高考模拟（理））已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=xx−4，则方程fx=f2−x的所有解的和为（　　）
A．4+3 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x−4）
∴当x＜0时，−x＞0
则f（−x）=−x（−x−4）=−f（x）
即f（x）=−x（x+4），x＜0
则f(x)=x(x−4),x≥0−x(x+4),x<0
作出f（x）的图象如图：
∵y=f（2−x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称
∴作出y=f（2−x）的图象，由图象知y=f（2−x）与y=f（x）的图象有三个交点
即f（x）=f（2−x）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于x=1对称
即a+b=2
则所有解的和为a+b+1=2+1=3
故选：C．
【思路点拨】
根据函数奇偶性，求出函数f（x）的解析式，结合y=f（2−x）的图象与y=f（x）的图象关于x=1对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程fx=f2−x的所有解的和．
2.（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【解析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】
解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
考点二：判断函数零点所在区间
【典例3】（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ）
A．