人教专题04 不等式 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《不等式》讲义
知识梳理.不等式
1．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：①a>b，c>0⇒ac>bc; ②a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异
实根x1，
x2(x1<x2)
有两相等实
根x1＝x2
＝－
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
3.均值定理
如果，那么，当且仅当时，等号成立
【均值不等式的常见变形】
（1）
（2）
（3）
（4）
题型一. 不等式的性质
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
【解答】解：对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．
故选：C．
2．设a，b∈R，则“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
3．若1a＜1b＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由 1a＜1b＜0，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选：C．
4．7+3与6+10的大小关系是（　　）
A．7+3＜6+10 B．7+3＞6+10 C．7+3=6+10 D．不确定
【解答】解：(7+3)2=16+67=16+252，(6+10)2=16+260=16+240，
∴(7+3)2＞(6+10)2，
∴7+3＞6+10．
故选：B．
5．已知a＞b＞1，0＜c＜1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．logca＞logbc D．bac＜abc
【解答】解：对于A，因为0＜c＜1，所以指数函数f（x）＝cx是减函数，
又a＞b，所以f（a）＜f（b），即ca＜cb，故A错误；
对于B，因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故B错误；
对于C，取a＝4，b＝2，c=12，
则logca=log124=−2，logbc=log212=−1，logca＜logbc，故C错误；
对于D，由a＞b＞1，可得0＜ba＜1，
又0＜c＜1，所以(ba)1＜(ba)c，即bac＜abc，故D正确．
故选：D．
6．若实数x，y满足x＞y＞0，则（　　）
A．1y＞1x B．ln（x﹣y）＞lny
C．x+y＜2(x2+y2) D．x﹣y＜ex﹣ey
【解答】解：因为x＞y＞0，所以1y＞1x，A正确；
由于x﹣y与y的大小不确定，B不正确；
因为2（x2+y2）﹣（x+y）2＝x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＞0，
所以2（x2+y2）＞（x+y）2，C正确；
令f（x）＝ex﹣x，则f′（x）＝ex﹣1＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x＞y＞0，得f（x）＞f（y），
所以ex﹣x＞ey﹣y，
所以x﹣y＜ex﹣ey，D正确．
故选：ACD．
题型二. 一元二次不等式
1．集合A={x|(x−1)(2x−3)≤1}，B={x|−1＜x＜32}，则A∩B为（　　）
A．{x|12＜x≤32} B．{x|