人教专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：

【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：
(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tanx+π4的定义域为（    ）
A．x|x≠kπ+π4,k∈Z B．x|x≠2kπ+π4,k∈Z
C．x|x≠kπ−π4,k∈Z D．x|x≠kπ,k∈Z
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.
故f(x)的定义域为x|x≠kπ+π4,k∈Z.
故选：A.
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练****理））若x∈π4,2π3，则函数f(x)=3sinxcosx+3sin2x的值域为（    ）
A．0,332 B．0,32
C．[0,3] D．[0,3+3]
【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f(x)=3sin(2x-π6)+32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可.
【解答过程】由题意，
f(x)=3sinxcosx+3sin2x=32sin2x+32(1-cos2x)
=3×(32sin2x-12cos2x)+32
=3×(cosπ6sin2x-sinπ6cos2x)+32
=3sin(2x-π6)+32,
当x∈π4,2π3时，有2x-π6∈π3,7π6，
当2x-π6=π2，即x=π3时，f(x)max=f(π3)=3+32=332；
当2x-π6=7π6，即x=2π3时，f(x)min=f(2π3)=0.
即函数f(x)的值域为0,332.
故选：A.
【变式1-2】（2