人教专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.1函数的三要素
知识梳理.函数的概念
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
题型一. 定义域
考点1.具体函数定义域
1．函数f（x）＝（1﹣x）−12+（2x﹣1）0的定义域是（　　）
A．（﹣∞，1] B．（−∞，12）∪（12，1）
C．（﹣∞，1） D．(12，1)
【解答】解：要使f（x）有意义，则1−x＞02x−1≠0；
解得x＜1，且x≠12；
∴f（x）的定义域为(−∞，12)∪(12，1)．
故选：B．
2．函数f(x)=11−x2的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁RN＝（　　）
A．[﹣2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，+∞） D．（﹣∞，1）
【解答】解：由1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，
∴M＝（﹣1，1），
由x2+3x+2＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，
∴N＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），
∴∁RN＝[﹣2，﹣1]，
则M∪∁RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点2.抽象函数定义域
3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是　[﹣1，5]　．
【解答】解：∵函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
∴函数f（x）的定义域是[﹣1，5]
故答案为：[﹣1，5]
4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（　　）
A．[﹣1，3] B．[0，2] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，
∴由−1≤1+x≤2−1≤1−x≤2，解得﹣1≤x≤1．
∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点3.已知定义域求参
5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是　（98，+∞）　．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a＞98，
故a的取值范围是（98，+∞）．
故答案为：（98，+∞）．
6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1 的定义域、值域都为R，则实数a满足（　　）
A．a＝﹣1或a=−32 B．−139＜a＜−1
C．a≠﹣1或a≠−32 D．a=−32
【解答】解：函数函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1 的定义域为R，对a没有范围限制，
若值域为R，则函数为一次函数，即2a2+5a+3=0a+1≠0，解得a=−32．
故选：D．
题型二.解析式
考点1.待定系数法
1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：设f（x）＝ax+b，a、b∈R，
则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b
即a2x+ab+b＝9x+4，
∴a2=9ab+b=4；
解得a=3b=1，或a=−3b=−2；
∴f（x）＝3x+1，或f（x）＝﹣3x﹣2．
2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是　f（x）＝x2﹣x+1　．
【解答】解：设y＝ax2+bx+c（a≠0）
由f（0）＝1得，c＝1 …（2分）
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x，
即2ax+a+b＝2x…（8分）
∴2a=2a+b=0⋯（11分）
∴f（x）＝x2﹣x+1．
故答案为：f（x）＝x2﹣x+1
考点2.换元法
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