人教专题05 函数 5.4对数函数 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.4对数函数
知识梳理.对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0<a<1
图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0<x<1时，恒有y<0
当x>1时，恒有y<0；
当0<x<1时，恒有y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
题型一. 指、对运算
1．已知函数f（x）=log2x，0＜x≤1f(x−1)，x＞1，则f（20192）＝　﹣1　
【解答】解：函数f（x）=log2x，0＜x≤1f(x−1)，x＞1，
则f（20192）＝f（20172）＝f（20152）＝…＝f（12）＝log212=−1．
故答案为：﹣1．
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（2+log123）＝　643　．
【解答】解：∵函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；
当x＜4时f（x）＝f（x+1），
又∵2+log123∈（0，1），
∴f（2+log123）＝f[4+（2+log123）]＝f（2+log123）＝f（log2643）=2log2643=643，
故答案为：643
3．已知a＞b＞1，若logab+logba=52，ab=ba，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝5，b＝2 B．a＝4，b＝2 C．a＝8，b＝4 D．a=2，b=2
【解答】解：由logab+logba=52，得logba=2⇒b2=a，
从而b2b＝ba⇒a＝2b，则b＝2，a＝4．
故选：B．
4．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【解答】解：∵a＝log0.20.3=lg0.3−lg5，b＝log20.3=lg0.3lg2，
∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5，
ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5，
∵lg103＞lg52，lg0.3lg2lg5＜0，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
题型二. 比较大小
1．（2017秋•信丰县校级月考）设a＝log32，b＝ln2，c=512，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，ln3＞1，
∴log32=ln2ln3＜ln2，
∴a＜b＜1，
∵c=512＞50＝1，
∴c＞b＞a，
故选：D．
2．已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，
而log32＞log52＞log72，
∴c＜b＜a．
故选：B．
3．（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）＝xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）＝xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；
logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即logcblogca=logaclogbc＜1，即logac＞logbc．故D错误；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜