人教专题05 函数 5.6奇偶性 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.6 奇偶性
知识梳理.奇偶性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.判断函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
题型一. 判断奇偶性
1．已知函数f(x)=2x+12x−1，g(x)=2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）g（x）为奇函数
B．f（x）g（x）为偶函数
C．f（x）+g（x）为奇函数
D．f（x）+g（x）为非奇非偶函数
【解答】解：f（x）的定义域为2x﹣1≠0，x≠0，
f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−f(x)，故函数f（x）为奇函数，
g（x）定义域为R且g（﹣x）＝﹣g（x），函数g（x）也为奇函数，
∴f（x）g（x）为偶函数，f（x）+g（x）为奇函数，
故选：BC．
2．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（　　）
A．y=log2(x2+1−x) B．y＝sinx
C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|
【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝log2（(−x)2+1+x）+log2（x2+1−x）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，
但是f（1）＝log2（2−1），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；
y＝sinx在R上不单调，不符合题意；
y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；
y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；
故选：C．
3．设函数f（x）＝x（ex+e﹣x），则对f（x）的奇偶性和在（0，+∞）上的单调性判断的结果是（　　）
A．奇函数，单调递增 B．偶函数，单调递增
C．奇函数，单调递减 D．偶函数，单调递减
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x（ex+e﹣x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝（x）（e﹣x+ex）＝﹣x（ex+e﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，
又由f′（x）＝（ex+e﹣x）+x（ex﹣e﹣x），
区间（0，+∞）上，ex＞1＞e﹣x＞0，则有f′（x）＞0，
则f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
故选：A．
题型二. 已知奇偶性求参、求值
1．若函数f（x）=k−2x1+k⋅2x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为　±1　．
【解答】解：∵函数f（x）=k−2x1+k⋅2x
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴k−2−x1+k