人教专题5.3 三角函数的图象与性质 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题5.3 三角函数的图象与性质
新课程考试要求
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）、数据分析等.
高考预测
（1） “五点法”作图；
（2）三角函数的性质；
（3）与不等式相结合考查三角函数定义域的求法．
（4）与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)．
（5）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质．
（6）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.
【知识清单】
知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
知识点2．“五点法”做函数的图象
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
【考点分类剖析】
考点一 三角函数的定义域和值域
【典例1】（2021·上海高一课时练****函数的定义域是___________.
【答案】
【解析】
首先根据正切函数的定义得到，，再解不等式即可.
【详解】
因为，所以，，
解得，因为，所以
故答案为：
【典例2】（2017新课标2）函数fx=sin2x+3cosx−34（x∈0,π2）的最大值是__________．
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式，则fx=1−cos2x+3cosx−34=−cos2x+3cosx+14= −(cosx−32)2+1，由x∈[0,π2]可得cosx∈[0,1]，当cosx=32时，函数f(x)取得最大值1．
【规律方法】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cos x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
【变式探究】
1.（2020·上海高三专题练****函数的最大值为2，最小值为，则_________，_________.
【答案】
【解析】
由已知得，解得.
故答案为：；.
2.（2020·全国高一课时练****求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）要使函数有意义，必须使.
由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角的终边应在轴或其上方区域，
∴.
∴函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.
∴
∴.
∴函数的定义域为.
【总结提升】
在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
考点二 三角函数的单调性
常见考题类型：1．求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小.
【典例3】（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知，，则，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．