人教专题5.5 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题5.5 平面向量的数量积及其应用-重难点题型精讲
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.

(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分
别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.
③求夹角问题，利用夹角公式：==.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
5．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·浙江杭州·高三期中）已知a=2,4，b=1,1，则a在b上投影向量为（    ）
A．32 B．3,3 C．322 D．32,32
【解题思路】利用投影向量公式可求得a在b上投影向量.
【解答过程】由题意可知，a在b上投影向量为acos<a,b>⋅bb=a⋅bb2⋅b=621,1=3,3.
故选：B.
【变式1-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知向量a=2,n，b=m,4，若a+b=5,3，则向量a在向量b上的投影向量为（    ）
A．25 B．255 C．625,825 D．45,25
【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示求出m、n，即可得到a，b，再根据a⋅bb⋅bb计算可得.
【解答过程】解：因为a=2,n，b=m,4，所以a+b=2,n+m,4=2+m,n+4，
又a+b=5,3，所以2+m=5n+4=3，解得m=3n=−1，所以a=2,−1，b=3,4，
所以a⋅b=2×3+4×−1=