人教高中数学专题2-2 点对称+轴对称+周期+单调性(解析版）.docx

专题2-2 点对称+轴对称+周期+单调性
目录
专题2-2 点对称+轴对称+周期+单调性 1
1
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式 1
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式 3
题型二：构造奇偶函数求函数值 5
题型三：奇偶性+周期性 8
题型四：对称性+奇偶性 12
题型五：对称性+周期性+奇偶性（知二推三） 18
题型六：三角函数中的对称性，周期性，奇偶性与单调性问题 24
33
题型一：利用奇偶性+单调性解不等式
【典型例题】
例题1．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练****定义在实数上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，为奇函数且，则，
因为在上单调递减，
所以在上满足，在上满足,
又因为为奇函数，
所以在上满足，在上满足，
所以的解集为的解集为；
或，
解得：或，
故不等式的解集为；
故选：D．
例题2．（2022·广东·深圳市燕川中学高一期中）偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，
所以在单调递减，则在单调递增，
因为，所以，所以，
化简得，解得或，即.
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练****已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，所以，因为，所以，
即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减．则不等式，
即等价于，解得或．
故选：D．
【提分秘籍】
1、对于任意，均有成立，注意功能用来判断函数的单调性（有具体函数时，直接求导可求单调性）；
2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式
3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴（）远，谁的函数值就大；如果口朝下：谁离对称轴（）远，谁的函数值就小。
【变式演练】
1．（2022·江西江西·高三阶段练****文））设a为实数，定义在R上的偶函数满足：在上为增函数，则使得成立的a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，解得：或
所以实数a的取值范围为
故选：A
2．（多选）（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
【答案】ACD
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，
所以，故A对，
若，则，得，故B错，
若，则或，因为，所以或，故C正确，
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：ACD.
3．（2022·广东·广州市第五中学高一阶段练****已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由，得或，
因为是偶函数，，所以，，
又因为在上单调递减，所以由得，解得，
同理：由可得或，
所以由可解得，由可解得，
故或，即.
故答案为：
题型二：构造奇偶函数求函数值
【典型例题】
例题1．（2022·陕西·无高一期中）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，
，为奇函数，
当时，，
.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练****已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】解：设，，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练****已知函数，若，则（    ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
【提分秘籍】
对于本身不具有奇偶性，通过构造（通常将尾巴常数变为0），构造奇函数，利用奇函数的对称性，求函数值.
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练****理））已知函数，若，则（    ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】设，
则，
故，即，
所以.
故，
因为，所以.
故