人教高中数学专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)(解析版).docx

专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)
【必备知识点】
◆构造一:待定系数之型构造等比数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.
【经典例题1】已知满足,求数列的通项公式.
【解析】
根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,.
【经典例题2】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即
【经典例题3】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即
【练****1】数列中,,设其前项和为,则
A. B. C. 15 D. 27
【答案】
【解析】
,可得,解得,同理可得:
变形为. 数列为等比数列,首项为,公比为2.
故选:.
【练****2】已知数列的前项和为,若,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
数列的前项和为,解得,
得,,
是以为首项,以为公比的等比数列,
.故选:.
【练****3】在数列中,,则_______.
【答案】47
【解析】
数列 中, ,变形为:,,数列为等比数列,首项为3,公比为2,,即则.故答案为:47.
【练****4】已知数列满足,则数列的通项公式=______.
【答案】
【解析】
是以为首项,2为公比的等比数列.,故.
【练****5】已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______.
【答案】1023
【解析】数列的首项,且,
则:,
整理得:(常数) ,
所以：数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以:,
当时,符合通项.
故：,
所以:
所以：.
【练****6】已知数列中,,则_______.
【答案】
【解析】
因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以,故答案为:.
◆构造二:待定系数之型构造等比数列
求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列.
【经典例题1】设数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得.
【经典例题2】已知:,时,,求的通项公式.
【解析】
设与题干原式比较,对应项系数相等得,解得,首项所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即
【练****1】已知数列是首项为.
(1)求通项公式;
(2) 求数列的前项和.
【解析】
因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则
,即.
【练****2】已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.
(1)求和通项公式;
(2)的前项和.
【解析】
因为是一元二次方程的两个根,所以,由 得,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以
【练****3】设数列是首项为,满足.问是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;
【解析】
依题意,令 所以 ,即
解得.所以数列是以2为公比、为首项等比数列.所以 ,即存在,使得数列成等比数列.
◆构造三:待定系数之型构造数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法.
方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.
方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决；
方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解.
【经典例题1】已知数列中,求的通项公式.
【解析】
解法一:构造数列,化简成题干结构得