人教高中数学思想01 函数与方程思想（讲）【解析版】.docx

第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（讲）
考向速览
方法技巧 典例分析
1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
(3) 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
2.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
3.常见方法：
（1）运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．
（2）利用函数性质求解方程问题
函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．
（3）构造函数解决一些数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.
01 函数与方程思想在方程、不等式中的应用
【核心提示】
1.函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2.含参不等式恒成立与存在性问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恒成立问题与转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：
①灵活转化：
（1）“关于的不等式在区间上恒成立”转化为“”；
“关于的不等式在区间上恒成立”转化为“”；
（2）“关于存在使得不等式成立”转化为“”；
“关于存在使得不等式成立”转化为“”；
②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域；
③得出结论，列出参数所满足的方程，通过解方程，求出的值．
【典例分析】
典例1.（2022·浙江·统考高考真题）已知，若对任意，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转换为，再结合画图求解．
【详解】由题意有：对任意的，有恒成立．
设，，
即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：
由图可知，，，或，，
故选：D．
典例2.（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
典例3.【多选题】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A，运用指数函数、对数函数单调性比较即可；对于选项B，构造函数运用函数的单调性比较即可；对于选项C，作差后运用基本不等式判断；对于选项D，寻找中介值比较即可.
【详解】对于选项A，因为，所以，，
所以，故选项A错误；
对于选项B，设，则，
又因为，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即：，
又因为，所以.故选项B正确；
对于选项C，，
因为，所以，
所以，即：.故选项C正确；
对于选项D，因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，