人教高中数学微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题（解析版）.docx

微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
3、证明数列单调性的方法：根据与的关系判断出数列的单调性（当恒为正或者负时，可以考虑利用与的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求，可以令，将选项中的所有数字用来表示，然后通过来验证哪个选项正确.如果题目问的是之类的偶数年份，最好是通过这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列满足（，为自然对数的底数），且对任意的都存在，使得成立，则数列的首项须满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，令，得到.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故，即（当且仅当时取等号）.
故（当且仅当时取等号）.
即.要使对任意的都存在，使得成立，
显然时，，一定能满足题意；
当时，，如图此时不满足题意；
当时，，如图此时满足题意；
综上，.
故选：C
例2．（2023•新蔡县月考）数列满足，则数列的前60项和等于　　
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
【解析】解：由，
可得数列的前60项和为
．
故选：．
例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列满足，且，则的取值范围是　　．
【解析】解：单调递增数列满足，且，
，解得，
，解得，
由条件可以得出，也就是隔3项成等差数列，公差为3．
只要保证就可以保证整个数列单调递增．
单调递增数列中，，，
，解得．
的取值范围是，．
故答案为：，．
例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.
【答案】
【解析】设，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列中，，且，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
由为变形为，又
所以数列是等比数列，首项为2，公比为，所以，可得，
所以，则，所以，解得，
当n为奇数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，
当n为偶数时，恒成立，等价于恒成立，而，所以，
综上得，所以实数的最大值为，
故答案为：.
例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为______.
【答案】2020
【解析】解：当时，，得，
当时，，
整理得 ，等式两边同除得，
则数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，
则，
所以不等式对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，
令，当时，最大，
，
解得，因为，，
此时，
，即。
所以满足条件的最小整数为2020.
故答案为：2020
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练****设数列的通项公式为，其前项和为，则（    ）
A． B． C．180 D．240
【答案】D
【解析】当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D
2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练****设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（