人教高中数学微专题05 数列经典题型精练（解析版）.docx

微专题05 数列经典题型精练
【秒杀总结】
1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练****已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，
∴当时，，
当时，
∴，即，
∴数列为首项为1公差为1的等差数列，
故；
（2）∵，
∴，
所以当时，，
当时，
∴；
（3）由题知，
令，则，
∴，
故单调递减，于是
∴要得不等式对一切都成立，则．
例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知为数列的前项和，，，成等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）因为，，成等差数列，即，
当时，，两式相减得，
所以是公比为2的等比数列，
即，即．由，得，
所以的通项公式．
（2）由（1）知
，
又因为，，
故
，
∴．
例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练****如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．点的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：；
（Ⅱ）若，求证：．
【解析】（Ⅰ）由已知，，从而有
因为在上，所以有
解得
由及，知，下证：
解法一：因为，所以与异号
注意到，知，
即
解法二：由可得，
所以有，即是以为公比的等比数列；
设，则解得，
从而有
由可得
所以，
所以
（Ⅱ）证明：因为
所以
因为，所以，所以有
从而可知
故
所以
所以
例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答．
（2）由（1）的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答．
（1）设等差数列的首项为，公差为（d>0），则，解得：，，
于是有，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
因此，．
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则，即，整理得，
显然n+3是25的正约数，又，则或25，
当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，
所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．
例5．（2023·江西·高三阶段练****理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求证：．
【解析】（1）两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明．
（2）由（1）得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解；
（3）根据，得到证明．
（1）证明：两边同时除以，
得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
则．
当时，，
而符合上式，故．
（3）证明：因为，故，
且，
而，
故．
例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求证：．
【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可；
（2）利用放缩法进行证明即可．
（1）当时，即
奇数项成等比数列
时，
当时，即①
当时，②
②-①得
化简得
即
等式两边同时除以得
等价于
即
由题知，当时，
故即
时，
综上，，
（2）由（1）知，
当时，
即，
，，
即
【过关测试】
1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项