人教高中数学微专题07 函数压轴小题（解析版）.docx

微专题07 函数压轴小题
【秒杀总结】
一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
三、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2023春·广东广州·高三统考阶段练****已知函数及其导函数的定义域均R，若为偶函数，且满足，则（    ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由为偶函数，则，即关于原点对称，为奇函数，
由，则，故关于对称，
所以，则有.
故选：C
例2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，对，，有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，由已知可得.
令，由已知可得，
设，则，整理可得.
又，所以，所以.
则，
所以.
故选：A.
例3．（2023·全国·模拟预测）下列大小关系正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于选项，因为，所以，则，
又因为，则有，
所以，故选项错误；
对于选项，构造函数，则，所以函数在上单调递减，则，所以，即，
令，则，所以在上单调递增，则，即，所以，
故，故选项正确；
对于选项，构造函数，则，
由选项可知：当时，，所以，
则有，因为函数在上恒大零，所以，则函数在上单调递增，所以，即，故选项
错误；
对于选项，因为，
令，则，令，
则，令，解得：，
因为，所以在上单调递减，故，
即，所以，
故选项错误，
故选：.
例4．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数的定义域为R，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）
①的一个周期为2；
②；
③的一个对称中心为；
④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意得：，将替换为得：，
即，②正确；
中将替换为得：，
因为向左平移个单位得到，
而关于点成中心对称，所以关于中心对称，故关于中心对称，
所以，
故，
所以，
所以的一个周期为4，①错误；
关于中心对称，又的一个周期为4，故的一个对称中心为，③正确；
中，令得：，
中，令得：，故，
中，令得：，
又因为，故，所以，
所以，
其中，，，
故
，④正确.
故选：C
例5．（多选题）（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知函数的定义域均为R，且.若的图像关于直线对称，且，则（    ）
A． B．的图像关于点对称
C．是周期函数，且最小正周期为8 D．
【答案】ABD
【解析】令，则，又，故，故A正确；
因为
则，即①
又，②
①+②得：，则的图像关于点对称，且
故B正确；
的图像关于直线对称，则，则，
则，又，
两式相减得，故，故最小正周期为4，
故C错误；
最小正周期为4，且图像关于点对称，
，，
因为，故
，
故D正确；
故选：ABD.
例6．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】令，可得，
所以函数为偶函数，
因为，则，所以，当时，函数有两个零点，
且当时，，可得，
令，可得，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
下面