人教高中数学微专题11 导数解答题之极最值问题（解析版）.docx

微专题11 导数解答题之极最值问题
【秒杀总结】
1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数（为非零常数），记，.
(1)当时，恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；
(3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，，
令，，
时，，时，
∴在上单调递减，上单调递增，
∴，
∴，
即的最大值为；
（2），∴，，
，，
时，，
当时，，
，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴时，取得最小值，
且，
∴为在定直线上运动；
（3），，均存在极小值，
，当时，，单调递增，不存在极小值，舍去，
当时，令，且在上单调递减；上单调递增，
∴在处取得极小值，
，，，
要使存在极小值，则，
此时，∴在上有唯一的零点，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴存在极小值，
当时，考察极值情形，
，
令，则，
当或时，；当时，，
∴在上单调递增；上单调递减；上单调递增，
因为，所以，，，
∴在上有唯一的零点，
且当时，，，单调递减；
当时，单调递增，
∴在处取得极小值，符合条件，
综上：实数的取值范围为.
例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围.
【解析】（1）若,函数的定义域为,
则曲线在点处切线的斜率为，
而,则曲线在点处切线的方程为.
（2）函数的定义域为，，
①当时,由,且此时,
可得，
令,解得或,函数为减函数，
令,解得，且,
所以当时，函数为增函数，
所以函数的单调减区间为，
单调增区间为
②当时,函数的单调减区间为，无单调增区间，
当时,函数的单调减区间为,，无单调增区间，
当时,由,所以函数的单调减区间为.
即当时，函数的单调减区间为，无单调增各区间，
③当时,此时.令,
解得或,但,
所以当,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.
所以函数的单调减区间为，
函数的单调增区间为，
综上所述，时，单调减区间为，
单调增区间为
时，单调减区间为，无单调增各区间，
时，单调减区间为，
单调增区间为.
（3）①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数,
所以不存在极值点;
②当时,由（2）可知,在上为增函数,
在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点,则,
解得或,
所以.
综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.
例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数.
(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）证明：因为，，；
又，
所以，所以在点处的切线方程为，
所以函数的图象与轴相切于坐标原点.
（2）先证明不等式恒成立，
令，则，当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
故，所以，当且仅当时，等号成立，
，令，
，令，，
当时，，
故在上为减函数，因为，所以当，
即时，，
所以为增函数，故，
所以为减函数，故函数在无极值点；
当时，当，因为为减函数，，
，
故必存在，使得，当时，，为增函数，
当时，，为减函数，而，故，
又因为
所以必存在，，且当，，为减函数，
当，，为增函数，故在区间上有一个极小值点，
令，
因为，所以在上单调递增，
又因为，，所以总存在使，
且当时，，单调递减，时，，单调递增，
当，，且，
故必存在，使得，
，，为减函数，，，为增函数，
因为，所以当，，即，
又因为
，
故存在，使得，
且当，，为减函数，
当，，为增函数，
故在区间有一个极小值点，
所以若函数在区间，各恰有一个极值点，
综上：实数的取值范围是.
例4．（2023·全国·高三专题练****已知函数.若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【解析】的定义域为，
令，
又因为函数有两个极值点，
有两个不等正实数根，
由于，二次函数图象对称轴为