微专题 求椭圆的标准方程 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

第 1 页
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
试卷第1页，共10页
微专题：求椭圆的标准方程
【考点梳理】
1. 椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在.
2. 椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
简单几何性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
离心率
e＝，且e∈(0，1)，e越接近1，椭圆越扁平
3、求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
【题型归纳】
题型一：判断方程是否表示椭圆
1．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
第 2 页
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
试卷第1页，共10页
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知曲线，则下列结论正确的是（       ）
A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上
D．若，则C是双曲线，渐近线方程为
题型二：根据方程表示椭圆求参数的范围
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
5．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
题型三：求椭圆方程
7．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
9．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
第 3 页
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
试卷第1页，共10页
【双基达标】
10．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（       ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（       ）
A． B． C． D．
12．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（       ）
A． B．
C． D．
13．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆：，其焦距为，且过点.点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（       ）
A． B． C． D．
14．阿基米德既是古希腊著