小学数学三年级上册第9讲 数学广角-集合（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版.doc

第9讲 数学广角-集合

知识点一：容斥原理
1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。
2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C


考点一：容斥原理
【例1】（2019春•北京月考）在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人．那么甲班共有　41　人．
【思路分析】这道题我们可根据题里的条件画一个示意图，如下图，从图里面很清楚地看出，参加比赛共有的人数＝参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣7．
【规范解答】解：（1）参加比赛的一共有：
15+12﹣7＝27﹣7＝20（人）；
（2）甲班共有：20+21＝41（人）；
答：甲班共有41人．
【名师点评】解答此问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法．
1．（2018•绵阳）一根木棒长50厘米，从木棒左端开始每隔3厘米画一条红线，每隔5厘米画一条黄线，最后沿线锯开后．这个木棒被分成了　23　段．
【思路分析】根据两端不画，得出所画的线的条数比分成的段数少1；分别计算出每隔3厘米画一条线，共画几条；然后求出每隔5厘米画的条数，共画几条，相加后减去重合的（即3和5的公倍数），解答即可．
【规范解答】解：（50÷3﹣1）+（50÷5﹣1）
≈16+9
＝25（条）
因为在50内，3和5公倍数有15，30，45即3条重合，
所以应为：25﹣3+1＝23（段）；
答：这个木棒被分成了 23段．
故答案为：23．
【名师点评】解答此题的关键：先明确两端不画，得出所画的条数比分成的段数少1；然后分别求出两种情况共画出的线的条数，然后减去重合的条数即可．
2．（2009•余姚市校级自主招生）甲、乙、丙三个班共有学生161人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有　55　人．
【思路分析】根据题意可先画出线段图，然后可用方程解答，设乙班有X人，甲班有X+2人，丙班有X﹣6人．

【规范解答】解：设乙班有X人，则甲班有X+2人，丙班有X﹣6人．
X+2+X+X﹣6＝161
3X+2﹣6＝161
3X+2＝167
3X＝167﹣2
3X＝165
X＝55
故答案为：55．
【名师点评】此题重点是甲班，丙班怎样用未知数表示．
3．黑、白、蓝三种颜色的盖子共有100个，将它们盖在红、白、黄三种颜色的100个瓶子上．其中蓝盖26个，黑盖25个，红瓶29个，黄瓶46个，有12个白瓶和4个红瓶盖着白盖，15个红瓶和4个黄瓶盖着蓝盖．那么盖着黑盖的红瓶有　6　个，盖着黑盖的白瓶有　6　个，盖着黑盖的黄瓶有　13　个．
【思路分析】先求出白颜色盖子的个数，白颜色瓶子的个数，再求出盖着白盖的黄颜色瓶子的个数，盖着蓝盖的白颜色瓶子的个数，进一步求出盖着黑盖的红瓶有多少个，盖着黑盖的白瓶有多少个，盖着黑盖的黄瓶有多少个．
【规范解答】解：白颜色盖子100﹣26﹣25＝49（个）
白颜色瓶子100﹣29﹣46＝25（个）
白盖黄颜色瓶子25﹣12﹣4＝9（个）
蓝盖白颜色瓶子26﹣15﹣4＝7（个）
黑盖的红瓶25﹣4﹣15＝6（个）