等比数列前n项和的性质及应用-人教高中数学选择性必修第二册练习 （Word解析版）.docx

第四章数列
4.3　等比数列
4.3.2　等比数列的前n项和公式
第2课时　等比数列前n项和的性质及应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于(　　)
A.33 B.72 C.84 D.189
解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.
答案C
2.(多选)(2019江苏高二期中)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　)
A.q=2
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{log2an}是公差为2的等差数列
解析因为数列{an}为等比数列,
又a1·a4=32,所以a2·a3=32.
又a2+a3=12,
所以a2=4,a3=8,q=2或a2=8,a3=4,q=12,
又公比q为整数,则a2=4,a3=8,q=2,
即an=2n,Sn=2×(1-2n)1-2=2n+1-2,
对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确;
对于选项B,Sn+2=2n+1,Sn+1+2Sn+2=2n+22n+1=2,
则数列{Sn+2}是等比数列,即选项B正确;
对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确;
对于选项D,log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,
即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.
故选ABC.
答案ABC
3.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为(　　)
A.580 B.585 C.590 D.595
解析设等比数列{an}的公比为q,则由题意有S偶S奇=q=2,S奇=a1[1-(q2)5]1-q2=8514,得a1=14,q=2,∴S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·1-q121-q3=585.
答案B
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　)
A.2盏 B.3盏 C.5盏 D.6盏
解析设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.
答案B
5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为(　　)
A.63 B.72 C.75 D.87
解析由已知S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m=60+3=63.
答案A
6.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,则S10-S4=　　　. 
解析依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4=2(1-210)1-2−2(1-24)1-2=2 016.
答案2 016
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 018=.
解析∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,
∴a2=2,a3=2.
又an+2·an+1=2n+1,∴an+2an=2,
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.
∴S2 018=(a1+a3+…+a2 017)+(a2+a4+…+a2 018)
=21 009-12-1+2(21 009-1)2-1=3·21 009-3.
答案3·21 009-3
8.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款　　　元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252) 
解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则
A1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.00