人教A版高中数学必修第二册第七章复数学案（Word版含解析）.doc

7．1复数的概念
7．1.1数系的扩充和复数的概念
新课程标准
新学法解读
1.通过方程的解，认识复数．
2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义．
1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性．
2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　)
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
解析：选A　易知①正确，②③错误，故选A.
2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由纯虚数的定义可知i, (1－)i是纯虚数．故选C.
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.
答案：5
4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．
解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
答案：－3　7
5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
解析：∵z<0，∴z为实数且小于0，∴
解得m＝－1.
答案：－1
1．数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2．复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
3．两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
复数的有关概念
[例1]　给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
[解析]　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.
[答案]　B
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．　　　　
[变式训练]
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为______．
解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
2．下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
答案：①
复数的分类
[例2]　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解]　(1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
复数分类解题策略
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．　　　　
[变式训练]
1．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解：当即m＝5时，z是实数．
2．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
3．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
解：∵z是虚数，∴log (3－m)≠0，且1＋m>0，
即∴－1<m<2或2<m<3.
∴m的取值范围为(－1,