北京市各区人教版高三上学期期中、期末考试分类解析（3）：导数及其应用.zip

三、导数及其应用
x
o
1. （2012年昌平区高三期末考试理8）已知定义在上的函数满足= 1，为的导函数.已知的图象如图所示,若两个正数满足，则的取值范围是（ A ）
A. ( B.
C. D.
2.（2012年西城区高三期末考试文11）若曲线在原点处的切线方程是，则实数______．
答案：。
3. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练****理9）曲线在处的切线的斜率为 。
答案：。
考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。
4.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示10）设函数在内导数存在，且有以下数据：
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
2
1
3
1
4
2
2
4
1
3
则曲线在点处的切线方程是 ；函数在处的导数值是 。
答案：，12。
考点：导数的几何意义；复合函数的求导。
5.（2011年东城区高三示范校高三综合练****一)文3）定义在上的函数
同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③ 在处的切线与直线垂直. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，求函数在
上的最小值.
解：（Ⅰ）. ……….…1分
由题意知即解得 ………………4分
所以函数的解析式为. ……….…….……5分
（Ⅱ）， .
令得，所以函数在递减，在递增. . ……7分
当时，在单调递增，. ………9分
当时，即时，
在单调递减，在单调递增，. …………10分
当时，即时，
在单调递减，……….…….12分
综上，在上的最小值 . ………13分
6.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练****文17）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式
已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。
解：（Ⅰ）由题意可得： …………2分
因为时，，
所以. ………4分
所以. …5分
（Ⅱ）当时，.所以
.
当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分
当时，. ……………………………………12分
所以当时，取得最大值.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.……13分
7. （2011年海淀区高三年级第一学期期中练****理17）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量x的函数关系式，已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨
时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.
解：（Ⅰ）由题意可得：………2分
因为时，，
所以.……4分
所以. ……5分
（Ⅱ）当时，.………6分
. ………8分
由可得：（舍）.…………9分
所以当时，原函数是增函数，当时，原函数是减函数.
所以当时，取得最大值. ………………11分
当时，. ………………12分
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.…13分
8.（2011年东城区高三示范校高三综合练****一)理17）已知
.（I）求函数在上的最小值；（II）
对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）定义域为，，
当,,单调递减，
当，单调递增. ………………2分
①当无解；…………………………………3分
②当，即时，； …………4分
③当即时，在上单调递增，；…5分
所以 ……6分
（2），则，对一切恒成立.……7分
设，则，
当单调递减，
当单调递增. …10分
在上，有唯一极小值，即为最小值.
所以，因为对一切恒成成立，
所以. …13分
9.（2011年海淀区高三年级第一学期期中练****文19）已知函数.
（Ⅰ）当时，求的单调递增区间；
（Ⅱ）求证：曲线总有斜率为的切线；
（Ⅲ）若存在，使成立，求的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，函数.