人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业二1.1.2（Word含解析）.doc

课时提升作业 二
　基本不等式
基础过关
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-8]∪[0,+∞)
B.(-∞,-4)
C.[-8,4)
D.(-∞,-8]
【解析】选D.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,
即a+4=-3x+43x≤-4,所以a≤-8.
2.下列不等式的证明过程正确的是　(　　)
A.若a,b∈R,则ba+ab≥2ba·ab=2
B.若x>0,则cosx+1cosx≥2cosx·1cosx=2
C.若x<0,则x+4x≤2x·4x=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则ba+ab=-[-ba+-ab]≤-2-ba-ab=-2
【解析】选D.A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”,故均错误.
3.若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于
(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.
【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)1a+1b=
1+1+ba+ab=2+ba+ab,因为a>0,b>0,所以2+ba+ab≥2+2ba×ab=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是__________.
【解析】3x+27y+1=3x+33y+1≥23x·33y+1=7.
答案:7
5.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____________.
【解析】令ab=t(t>0),由ab=a+b+3≥2ab+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以ab≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.
答案:[9,+∞)
【误区警示】解答本题过程中易忽视a,b∈(0,+∞)而求出ab∈(-∞,1]∪
[9,+∞)的错误.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.求函数y=x2+5x+15x+2(x≥0)的最小值.
【解析】原式变形得:
y=(x+2)2+(x+2)+9x+2=x+2+9x+2+1,
因为x≥0,所以x+2>0,
所以x+2+9x+2≥6,
所以y≥7,当且仅当x=1时等号成立.
所以y=x2+5x+15x+2(x≥0)的最小值为7.
7.如图,已知小矩形花坛ABCD中,AB=3m,AD=2m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN,使点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,AN的长应在什么范围内?
(2)M,N是否存在这样的位置,使矩形AMPN的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的AM,AN的长度;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设AM=x,AN=y(x>3,y>2),矩形AMPN的面积为S,则S=xy.
因为△NDC∽△NAM,所以y-2y=3x,所以x=3yy-2,所以S=3y2y-2(y>2).
由3y2y-2>32,得2<y<83,或y>8,所以AN的长度应在2,83或(8,+∞)内.
(2)