人教版初中数学专题15 分式（解析版）.docx

专题15 分式
知识点1：分式
1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0
3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
5.分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=（AC）/（BC）， A/B=（A÷C）/（B÷C） （A,B,C为整式，且C≠0）
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
知识点2：分式的运算
1.同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：（a/b ）（c/d）=ac/bd
4.分式的除法法则:
1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:（a/b）÷（c/d）=（a/b）（d/c）
知识点3：分式方程
1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
3.重点在分式方程解实际应用问题。
一、记忆理解分式单元重难点思维导图
二、中考分式单元考题类型总结
1.分式概念考法
（1）考查分式的定义；
（2）考查分式有意义的条件；
（3）考查分式的值为0的条件；
（4）考查分式的值为正负的条件。
2.分式的基本性质考法
（1）化分数系数、小数系数为整数的问题；
（2）分数的系数变号问题；
（3）化简求值问题。
3.分式的运算考法
（1）通分；
（2）约分；
（3）分式的混合运算；
（4）分式化简求值；
（5）求待定字母的值。
4.分式方程类型题考法
（1）用常规方法解分式方程；
（2）增根类问题；
（3）列分式方程解应用题
1）营销类应用性问题；
2）工程类应用型问题；
3）行程中应用型问题；
4）轮船顺水逆水应用性问题；
5）浓度应用性问题；
6）货物运输应用性问题；
7）其他类应用性问题。
【例题1】（2020•台州）计算1x-13x的结果是　 　．
【答案】23x．
【解析】1x-13x=33x-13x=23x．
【点拨】先通分，再相减即可求解．
【例题2】（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为　 　．
【答案】x＝9．
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．
【解析】去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
【例题3】（2020•乐山）已知y=2x，且x≠y，求（1x-y+1x+y）÷x2yx2-y2的值．
【答案】见解析。
【解析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．
原式=2x(x+y)(x-y)÷x2yx2-y2
=2xx2-y2×x2-y2x2y
=2xy，
∵y=2x，
∴原式=2x⋅2x=1
解法2：同解法1，得原式=2xy，
∵y=2x，
∴xy＝2，
∴原式=22=1．
【例题4】（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）=6210x B．6210x-1=3
C．3x﹣1=6210x D．6210x=3