人教版初中数学专题二 作图问题(解析版).docx

专题二　作图问题
类型1　尺规作图
1．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P.
求作：直线l的垂线，使它经过点P.
作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B；
(2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；
(3)作直线PQ.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________
(2)已知：直线l和l外一点P.
求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P即为所求．
2．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．
(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．
(2)求PA＋PB的最小值．
[来源:Z|xx|k.Com]
解：(1)如图1所示，点P即为所求；
(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B为的中点，∴＝，∴∠BON＝∠AOB＝∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB＝MN＝×4＝2.∴在Rt△A′OB中，A′B＝2，∴PA＋PB的最小值为2.
3．如图，已知△ABC，∠B＝40°.
(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；
(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．[来源:学,科,网]
解：(1)如图1，⊙O即为所求．
(2)如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.
4．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB＝30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，NP为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．
(1)请写出小明这种做法的理由；
(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？
(3)点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法，保留作图痕迹)．
解：(1)如图2，连结OP，由题意可得＝，∴∠COM＝∠POM，＝，∴∠PON＝∠DON，∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°，∴∠COD＝2∠MON＝60°，∴△OCD是等边三角形；(2)不一定，只有当∠COM＝15°，CD∥MN，理由：∵∠COM＝15°，∠MON＝30°，