人教版初中数学专题18 创新型与新定义综合问题（解析版）.doc

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题18创新型与新定义综合问题
【考点1】几何综合探究类阅读理解问题
【例1】综合与实践：
阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
如图1，作，使，，延长至点，使，连接.
设，则，..
请解决下列问题：
（1）类比求解：求出的值；
（2）问题解决：如图2，某住宅楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，住宅在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，住宅楼顶在地面上的影子与墙角有的距离（，，在一条直线上）.求住宅楼的高度（结果保留根号）；
（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在中，，，；在中，，，.他将的斜边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，，两点始终在边上（移动开始时点
与点重合）.探究在移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，直接写出的长度；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）住宅楼的高为.（3）存在某个位置，使得，的长为.
【分析】
（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；
（2）在中，设为得出，在中，根据列出关于x的方程求解即可；
（3）因为在中，，，，所以；假设在移动过程中，存在某个位置使得，因为，所以CF=FE=，所以的长为.
【详解】
（1）如图，延长至点，使，连接.
在中，，，设，则.
∴，
∴
.
（2）如图，过点作，垂足为.
在中，，设为.
∴.
∴.
∵在中，，
∴，.
∵，
∴.
∴
.
答：住宅楼的高为.
（3）存在某个位置，使得，理由如下：
当时，∵，
∴∠ECF=∠CEF，
∴CF=EF，
∵，，，
∴，∴.
【点睛】
本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力.
【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.（2）见解析.（3）GE=．
【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1，
∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE=．
【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式1-2】综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．
证明：连接．
由作图可知，，
又．
，∴是半圆的切线．
问题解决：
（1）