人教版数学类型六 二次函数与三角形相似问题（解析版）.doc

类型六 二次函数与三角形相似问题
例1、如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
例1题图
图1
图2
【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点，
∴
∴.
图1
抛物线的解析式为,即
⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,
由得,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D点的横坐标为6
将x＝6代入,得y＝－3,
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
图2
设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)
∴直线OP的解析式为
由,
得
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
例2、已知抛物线经过及原点．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为）
（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？
【答案】解：（1）由已知可得：
解之得，．
因而得，抛物线的解析式为：．
（2）存在．
设点的坐标为，则，
要使，则有，即
解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．
故存在两个点使得与相似．
点的坐标为．
（3）在中，因为．所以．
当点的坐标为时，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因为．所以．
即有．
所以，
又因为，
所以．
例3、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
O
x
y
C
B
E
【答案】解：（1）与相似。
O
x
y
图1
C
B
E
D
3
1
2
A
理由如下：
由折叠知，，
，
又，
。
（2），设AE=3t，
则AD=4t。
图2
O
x
y
C
B
E
D
P
M
G
l
N
A
F
由勾股定理得DE=5t。
。
由（1），得，
，
。
在中，，
，解得t=1。
OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
解得
，则点P的坐标为（16，0）。
（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，
y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。
例4、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）