人教版数学类型四 二次函数与特殊三角形判定问题（解析版）.doc

类型四 二次函数与特殊三角形判定问题
例1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【解析】解：(1)依题意，得，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得，
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
∴M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
例2、如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．
　第2题
【解析】解：(1)令y＝－x2＋x－4＝0，解得x1＝1，x2＝5，
∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点A作AP∥BC，与抛物线交于点P，则S△PBC＝S△ABC，
第1题解图 第2题解图①第2题解图②
当x＝0时，y＝－x2＋x－4 ＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)，
设过点B，C两点的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则有解得
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
由于PA∥BC，设AP的解析式为y＝x＋m，代入点A(1，0)，解得m＝－，
∴直线AP的解析式为y＝x－，
联立方程组得解得：
∴P点的坐标为(4，)．
(3)△MDE能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线y＝－x2＋x－4＝－(x－3)2＋，
∴对称轴是直线x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN＝MA＝2，
∴N(3，2)．
设直线PC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得： 解得：
∴直线PC的解析式为y＝2x－4.
将y＝2x－4代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－x2＋x－4，解得：x＝0或x＝，∴P(，3)．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)．
例3、如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N