人教版数学类型一 最优方案问题（解析版）.doc

类型一 最优方案问题
例1． 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.
【解析】： （1） y=(60－x－40)(300+20x) ＝6000+400x－300x－20x2
 ＝－20x2+100x+6000
自变量的取值范围是0≤x≤20.
（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，
∵，.
∴当x=2.5时，y的最大值是6125.
∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.
图1
A
B
C
D
x
30
40
x
例2 现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．
（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．
（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
【答案】：当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.
【解析】：（1）由题意知，场地宽为，
∴， 自变量的取值范围为．
（2），
当时，种植菊米的面积最大， 最大面积为225m2．
点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．
例3、 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；
(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
【答案】：(1) 四边形EFGH是正方形．（2）当CE=CF=0.1米时总费用最省.
图1
(2)
A
D
F
B
E
C
(1)
E
F
G
H
A
B
D
C
【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y，分别求出△CFE、△AB