人教版初中数学专题14 角平分线问题（解析版）.docx

专题14 角平分线问题
1.角的平分线定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
2.作角平分线
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
  
3.角平分线的性质
（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.
（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵ AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.
注意：三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
说明：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
4.角平分线的综合应用
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
（2）在解决综合问题中的应用．
【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（　　）
A．132° B．128° C．122° D．112°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．
【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∴∠BEG=12∠BEF＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．
【对点练****2020长春模拟 ）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C．
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．
∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。
【例题2】（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　 　．
【答案】30°．
【解析】先根据圆周角定理得到∠BAC=12∠BOC＝60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD的度数．
∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
【对点练****2019四川自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　 ．
【答案】．
【解析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABE，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴CE＝AC＝×8＝3，
BE＝，
DE＝BE＝×＝
【点拨】本题考查相似三角形性质、勾股定理、角平分线性质。
【例题3】（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，O