人教版初中数学专题24 矩形（解析版）.docx

专题24 矩形问题
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线平分且相等。
3．矩形判定定理
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）
【例题1】（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（　　）
A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx
【答案】A
【解析】作CE⊥y轴于E，由矩形的性质得出CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，证出∠CDE＝∠DAO＝x，由三角函数定义得出OD＝bsinx，DE＝acosx，进而得出答案．
作CE⊥y轴于E，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO＝x，
∵sin∠DAO=ODAD，cos∠CDE=DECD，
∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，
∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，
∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx.
【对点练****2019•贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　）
A．360° B．540° C．630° D．720°
【答案】C．
【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的
倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
【例题2】（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．
【答案】317．
【解析】根据矩形的性质可得BD＝13，再根据BP＝BA可得DQ＝DP＝8，所以得CQ＝3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．
∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ=BC2+CQ2=153=317．
【对点练****2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　 　．
【答案】．
【解答】∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴64+AB2＝4AB2，
∴AB＝
【例题3】（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【对点练****2019•湖北省鄂州市）如图，矩形AB