人教版初中数学专题36 一次函数问题（解析版）.docx

专题36 一次函数问题
一、一次函数
1．一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。
2．一次函数的图像：是不经过原点的一条直线。
3．一次函数的性质
（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小；
（3）当b>0时，直线交y轴于正半轴；
（4）当b<0时，直线交y轴于负半轴。
二、正比例函数
1．正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。
3．正比例函数的性质
（1）当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小．
三、一次函数和正比例函数的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当
b<0时，向下平移）
四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【例题1】（2020贵州黔西南）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
【答案】y＝－2x
【解析】首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x
【点拨】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
【对点练****2019广西桂林）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，，，
，，
四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
直线与该直线的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
或，
，
直线解析式为
【例题2】（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】求得解析式即可判断．
【解析】∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2）。
【对点练****2019年陕西省）对于正比例函数，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正比例函数，所以当自变量x的值增加1时，函数y的值减少2，故，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加．
【例题3】（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　 　米．
【答案】350
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．
【解析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
8k+b=96020k+b=1800，
解得：k=70b=400，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米。
【对点练****2019•贵州安顺）安顺市某商