人教版初中数学预测10 几何图形的探究（解析版）.doc

预测10 几何图形的探究
几何图形的探究是全国中考的热点！全国各地的中考数学试题都把几何图形的探究作为压轴题之一。
1．从考点频率看，三角形和四边形的综合探索与证明以及几何的动态问题是高频考点。
2．从题型角度看，以解答题形式考查，分值约10分。

相似三角形模型

8字形模型

8字形 反8字形

A字形模型
A字形 反 A字形 共边反 A字形
一线三等角模型
一线三等角 一线三直角

1．（2019年湖南省常德市中考数学试题）在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．
（1）在图1中，求证：；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，求证：；
（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作交CM的延长线于点E，作交NB的延长线于点F，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到，利用AAS定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；
（3）根据△BMC≌△CNB，得到，证明△AMC∽△OMB，得到，根据比例的性质证明即可．
【详解】证明：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴△CEP∽△CMB，
∴，
∵，
∴△BFP∽△BNC，
∴，
∴，
∴；
（3）同（2）的方法得到，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴△AMC∽△OMB，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
2．（2019年山东省烟台市中考）(1)问题发现 
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上. 
填空:线段AD,BE之间的关系为  .
(2)拓展探究 
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由. 
(3)解决问题 
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围. 
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3≤PC≤5+3．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.
【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，