人教版初中数学专题50 中考数学新定义型试题解法（解析版）.docx

专题50 中考数学新定义型试题解法
1.新定义问题
所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．
2.新定义问题类型
主要包括以下几种类型：
（1）概念的“新定义”；
（2）运算的“新定义”；
（3）规则的“新定义”；
（4）实验操作的“新定义”；
（5）几何图形的新定义．
3.新定义问题解题策略
“新定义型专题”关键要把握两点：
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；
二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
【例题1】（2020•河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
【对点练****定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是
．
（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．
【答案】（1）-2≤a＜-1（2）5，6．
【解析】运算新定义问题。
（1）∵[a]=-2，
∴a的取值范围是-2≤a＜-1；
故答案为：-2≤a＜-1．
（2）根据题意得：
3≤＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
【例题2】（2021广东深圳模拟）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是
( )
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意得y＝3※x＝
当x≥3时，y＝2；
当x＜3且x≠0时，y＝− ,
图象如图：
【对点练****2020甘肃兰州模拟）通过学****三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= .
（2）对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .
（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值.
A
A
B
C
C
B
图①
图②
【答案】见解析。
【解析】（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°==1．故答案为1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正对的定义可得：sadA==，即sadα=．
【例题3】（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　 　；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【答案】见解析。
【分析】（1）对