人教版初中数学专题45 待定系数法（解析版）.docx

专题45 待定系数法
1.待定系数法的含义
一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
2. 待定系数法的应用
（1）分解因式
待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。
a.确定所求问题含待定系数的解析式。
b.根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
c.解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
（2）求函数解析式
初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，
y=k/x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a (x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．一般步骤如下：
a.写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；
b.把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。
c.解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。
（3）解方程
例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．
（4）分式展开
首先用未知数表示化为部分分式和的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和可得结果。也可以用代值法求系数。
【例题1】（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【答案】D
【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y=kx，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．
【解析】设反比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
【对点练****2020乌鲁木齐模拟）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】D．
【解析】设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得：，
解得：
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．
∵以CD为边的正方形的面积为，
∴2（﹣）2=，
则a2=，
∴k=×=7．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．
设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
【例题2】（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【答案】见解析。
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（