人教版初中数学专题10 二次函数【考点精讲】（解析版）.docx

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专题10 二次函数
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考点1：二次函数的图象和性质
1．二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c　(a,b,c是常数，a≠0)
注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
2．函数图象和性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸.
②对称轴是，顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记为左减右增.
①当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸.
②对称轴是，顶点坐标是.
③在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记为左增右减.
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④抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，y最小值=.
④抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，y最大值=.

【例1】（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
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D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【例2】（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得

故②错误；
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③经过

又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,

函数有最小值

化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
方法技巧
抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：①b=0时，对称轴为
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y轴；②>0（即a,b同号）
时，对称轴在y轴左侧；③<0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【注意问题】
（1）二次函数的图象与系数的关系;
（2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换.
针对训练
1．（2021·湖南中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可