人教版初中数学专题14 函数与利润问题【考点精讲】（解析版）.docx

学科网（北京）股份有限公司
专题14 函数与利润问题

知识导航
题型精讲
题型一：图表类
【例1】某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售
公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数
图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）
之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润
为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．
【详解】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
学科网（北京）股份有限公司
设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，
解得：a=110，
故y与x之间的关系式为y=110x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z＝kx+b，则100k+b=20b=30，
解得：k=−110b=30，
故z与x之间的关系式为z=−110x+30；
（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2
=−15x2+30x
=−15（x2﹣150x）
=−15（x﹣75）2+1125，
∵−15＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；
（3）令y＝360，得110x2＝360，
解得：x＝±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x＝60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．
【例2】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足
一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：
学科网（北京）股份有限公司
销售单价x（元）
85
95
105
115
日销售量y（个）
175
125
75
m
日销售利润w（元）
875
1875
1875
875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是　 　元，当销售单价x＝　 　元时，日销售利润w最大，最大值是　 　元；
（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．
【详解】解；（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
85k+b=17595k+b=125，得k=−5b=600，
即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，
当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，
即m的值是25；
（2）设成本为a元/个，
当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，
w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，
故答案为：80，100，2000；
（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，
（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，
答：该产品的成本单价应不超过65元．