人教版2020年中考数学专题复习二次函数与图形综合培优.doc

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二次函数与图形综合

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题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题
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坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.
一、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为等腰三角形．

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几何法：①分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，，，．（检验）
②作线段的垂直平分线，找点．（检验）
代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：
①；②；③．求出点．（检验）
二、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形．
几何法：①分别过点、作线段的垂线，找点，．（检验）
②以线段为直径作圆，利用直径所对的圆周角为，找点，．（检验）
代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：
①；②；③.
求出点．（检验）
三、方法与技巧：以点、、为顶点的三角形和相似．
根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论：
①，②，
③，④，
⑤，⑥.（检验）
典题精练
已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴交于点．
⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标；
⑵ 在轴的正半轴上是否存在点．使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】⑴ 把点代入二次函数有：
得：
所以二次函数的关系式为：．
当时，
∴点的坐标为．
⑵ 如图：
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作的垂直平分线交轴于点，连接，
则：
设，则，
在直角中，
即：
解得：
∴
所以点的坐标为：
可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.
在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数的图象交于点和点．
⑴当时，求反比例函数的解析式；
⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；
⑶设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．
【解析】 ⑴当时，，
∵在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
⑵∵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，
∴，
∵二次函数，的对称轴为：直线，
要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，
即时，才能使得随着的增大而增大，
∴综上所述，且；
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⑶由⑵可得：，
∵是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点平分，∴，作，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点B落在边上的点E处．分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．
⑴求的长及抛物线的解析式；
⑵一动点P从点E出发，沿以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？
【解析】 ⑴∵四边形为矩形，
∴，
，．
由题意得，．
∴，，．
由勾股定理易得．∴．
设，则，
由勾股定理，得．
解之得，，∴．
∵抛物线过点，∴．
∵抛物线过点，，
∴．解之得．
∴抛物线的解析式为：．
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⑵∵，，
∴．
由⑴可得，，．
而，，∴．
当时，，
∴，即，解得．
当时，，
∴，即，解得．
∴当或时，以，，为顶点的三角形与相似．
题型二：坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题
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坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.
⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：
已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点．
①为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
②为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．
⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：
如图，已知和直线，在直线上找点，使以点、、、为顶