人教第02讲 不等式选讲（练）（解析版）.docx

第02讲 不等式选讲
一、解答题
1．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若，，均为正数，且，证明：．
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；
（2）由题意得，再由基本不等式及不等式的性质可证明.
【详解】（1）
≥=
≥．(当且仅当时，取等号)
∴函数f(x)的最小值为．
（2）因为，，均为正数，
所以，
∴．
由
≥9，
得．
∵，
∴．
∴，
∴．
2．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分别在，，条件下化简绝对值不等式，并求其解集；
（2）利用绝对值三角不等式得到，依题意可得，讨论的正负，解方程求a的取值范围．
【详解】（1）当时，，不等式可化为，
当时，不等式化为，∴，此时；
当时，不等式化为，因为恒成立，所以；
当时，不等式化为，∴，此时，
综上所述，不等式的解集为；
（2），当且仅当时取等，
若，则，
当时，不等式恒成立；
当时，不等式，两边平方可得，解得，∴，
综上可得，a的取值范围是．
3．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为m，且正实数a，b，c满足，求证：．
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得，再利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述：不等式的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立，
∴函数的最小值为，则，
又∵，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
上式相加可得：，当且仅当时等号成立，∴.
4．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，且，求的最小值．
【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据求的最小值，再根据题意结合基本不等式求的最小值
（1）
∵，则有：
当时，则，解得：
当时，则，即成立
当时，则，解得：
综上所述：不等式的解集为
（2）
∵，当且仅当时等号成立
∴的最小值为，即
则，当且仅当，即时等号成立∴的最小值为16.
5．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的最大值.
【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号解不等式可得；
（2）不等式分离参数后，转化为求函数的最大值，利用绝对值三角不等式可得．
（1）
由已知.
当时，，，此时无解；
当时，，，此时取；
当时，，，此时取.
综上可得不等式的解集为.
（2）
由题意可得有解，
因为（时取等号），
所以有解，
∴，
∵，当时等号成立，∴，
∴，即的最大值为.
6．已知，，，且.
(1)求证：；
(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.
【分析】（1）对应用基本不等式可证；
（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．
【详解】（1）
，
所以，当且仅当时等号成立
（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，
等价于，
令，
当时，，
当时，，舍去，
当时，，即或.
综上所述，取值范围为.
一、解答题
1．已知
（1）求的取值范围；
（2）若，证明：；
（3）求所有整数，使得恒成立.注：为自然对数的底数.
【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）的值可以是．
【分析】（1）分类讨论，，，即可得出结果
（2）将原不等式证明转为证明与，构造函数，求导分析单调性，只需证与即可．
（3）由原不等式化为，主要求得取值范围即可，由于，构造函数即可求得取值范围．
【详解】（1）当时，有与矛盾；
当时，有与而，与矛盾；
当时，有则，由得，所以；
综上所述：；
（2）设，则，当 时，，则在
上递增，
由于得，即，由（1）知，又，
故要证即证
即证且
①要证，需证，即证
需证，设，需证
由，又，所以
所以在 单调减，则，所以成立，则成立；
②要证，由于，则
需证，即证
需证，设，需证
由，
又，，
故有，，所以在单调减，在单调增
又，
所以，则，得
所以成立；
（3）因为，
所以
由
设，由，得在上单调减，在上单调增
又因为 则
所以
由恒成立，所以的值可以是
2．已知.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）分类讨论解不等式，再取并集；
（2）分类讨论求出函数的最小值，可知，利用基本不等式知，再利用柯