人教第03讲 等比数列及前n项和（练）（解析版）.docx

第03讲 等比数列及前n项和
一、单选题
1．设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等比中项得，再利用和等比数列的通项公式计算，即可得到的值.
【详解】因为是正项等比数列，所以 ，，
由等比中项得，解得，
所以解得，，
所以.故选：B.
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn=lnan，b3=18，b6=12，则数列{bn}前n项和的最大值等于（       ）
A．126 B．130 C．132 D．134
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式求得后可得，得是等差数列，求出的解后可得取最大值时的值，再计算可得．
【详解】由已知，，所以的公比为，，，
，，
，是等差数列，公差为，
，则，
所以的前项和的最大值为故选：C．
3．在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得是以为公比的等比数列，再根据求出的通项公式，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：若，则，又，显然不满足条件，
所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，当时，即，
当时，所以
又，所以，解得．故选：D
4．已知数列 的前项和为，且满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得.
【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
故选:D．
5．已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（       ）
A．9 B．8 C．3 D．27
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，由已知求出、，则转化为求指数的最值可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则由得
，解得，，
所以，
当且仅当或时的最大值为.故选：D.
6．已知数列的前项和为，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据作差可得，再由，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】解：因为，，当时，
当时，所以，即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以.故选：A
7．设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
二、填空题
8．在等比数列中，，，且，则数列有______项．
【答案】12
【分析】由题意及等比数列的性质可求出，所以，即可求出列的项数.
【详解】由题意及等比数列的性质得，
即，则，
故有12项．故答案为：12.
9．毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.
【答案】##
【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由题意可得且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项和公比均为，因此，.故答案为：.
10．在《庄子•天下》中提到“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为，第二个正方形
EFGH的面积为，…，第n个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为________．
【答案】31
【分析】根据题意，可知面积的规律是首项为16，公比为的等比数列，再求和即可.
【详解】，,所以.
设前5个正方形的面积之和为，.故答案为：31.
三、解答题
11．设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
(1)求和的通项公式