人教考向12含ex，ln x与x的组合函数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）.docx

考向12 含ex，ln x与x的组合函数
1.【2022年新高考1卷第22题】 已知函数和有相同的最小值.
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为. 综上，.
（2）由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，
当时，由（1）讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，
故，此时有两个不同的零点，
此时有两个不同的零点，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，故即.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
2.【2022年甲卷理第21题】已知函数．
（1）若,求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
【答案】（1）；（2）见证明；
【解析】（1）定义域为，
令，所以时，单调递减；
时，单调递增；，要使得恒成立
即满足：.
（2）由（1）知要使得有两个零点，则
假设.要证明即证明，又由于在单增，即证明
.下面构造函数
由于，又函数在单减，
.
时在单调递增，而
得证．
3.【2022年新高考2卷第22题】22. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2） （3）见解析
【解析】
（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
【小问3详解】
取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
4.【2022年乙卷理第21题】已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1） ，（2）
【解析】【小问1详解】
的定义域为，当时,,所以切点为，,所以切线斜率为2，所以曲线在点处的切线方程为
【小问2详解】
，
设
若,当,即
所以在上单调递增,，故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
，所以存在,使得,即
当单调递减，当单调递增
所以，当
当，所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设，，所以在单调递增
，所以存在,使得
当单调递减
当单调递增
又，所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有，而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在