人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第4节　幂函数与二次函数.docx

第4节　幂函数与二次函数
考试要求　1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错误.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.
(4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误.
2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A.f(x)＝－x B.f(x)＝
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案　D
解析　取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.
3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.
答案　
解析　当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－，
依题意知∴m≤－.
4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________.
答案　(3，5)
解析　∵幂函数f(x)＝x－在定义域(0，＋∞)上单调递减，
∴由f(a＋1)<f(10－2a)，
得∴3<a<5.
5.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则
α＝______.
答案　－1
解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，
∴α<0，取α＝－1.
6.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________.
答案　2
解析　f(x)＝－2x2＋mx＋3
＝－2＋＋3，
∵0≤m≤4，∴0≤≤1，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
∴＋3＝4，解得m＝2.
考点一　幂函数的图象和性质
1.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)
答案　C
解析　设幂函数的解析式为y＝xα，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.
2.若幂函数f(x)＝(2b－1)xa2－10a