人教版高中数学第7讲　解三角形应用举例及综合问题.doc

第7讲　解三角形应用举例及综合问题
一、知识梳理
1．仰角和俯角
在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
常用结论
1．明确两类角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．解三角形应用题的一般步骤
二、教材衍化
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________米．
答案：50
2．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
解析：设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
答案：12
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、易错纠偏
常见误区(1)仰角、俯角概念不清；
(2)方向角概念不清；
(3)方位角概念不清．
1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：选B．易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.
2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________
答案：130°
3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.
解析：由题意画示意图，如图，
OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝＝＝10(m)．
答案：10
考点一　解三角形应用举例(应用型)
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
核心素养：数学建模
角度一　测量距离问题
(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
【解析】　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80.
故图中海洋蓝洞的口径为80.