2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题3　微重点9　数列的递推关系.docx

微重点9　数列的递推关系
数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．
考点一　构造辅助数列
例1　(1)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B．{an}的通项公式为an＝
C．{an}为递增数列
D.的前n项和Tn＝3n－n－1
答案　ABD
解析　因为an－3an＋1＝2anan＋1，
两边同除anan＋1，
可得＝＋2，所以＋1＝3，
又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；
所以＋1＝2×3n－1，即an＝，
所以{an}为递减数列，故B正确，C错误；
所以＝2×3n－1－1，的前n项和为
Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)
＝2×(30＋31＋…＋3n－1)－n
＝2×－n＝3n－n－1，故D正确．
(2)(2022·吕梁模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100等于(　　)
A．2100－3 B．2100－2
C．2101－3 D．2101－2
答案　D
解析　由an＋1＋an＝3×2n得，
an＋1－2n＋1＝－(an－2n)．
又a1－21＝－1，
所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n，
即an＝2n＋(－1)n，
所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100
＝＋0＝2101－2.
规律方法　(1)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(2)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
跟踪演练1　(1)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，若an>980，则n的最小值是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　因为an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，
所以an－n＝2[an－1－(n－1)](n≥2，n∈N*)．
因为a1＝3，所以a1－1＝2，
所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列，则an－n＝2n，即an＝2n＋n，
因为an－an－1＝2n－1＋1>0，
所以数列{an}是递增数列，
因为a9＝521<980，a10＝1 034>980，
所以满足an>980的n的最小值是10.
(2)(2022·重庆质检)已知数列{an}满足a2＝0，a2n＋1＝a2n＋，a2n＋2＝a2n＋1－(n∈N*)，则数列{an}的第2 022项为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　a2n＋2＝a2n＋1－
＝a2n＋－(n∈N*)，
所以a2 022＝a2 020＋－，
a2 020＝a2 018＋－，
…
a4＝a2＋1－，
累加得
a2 022＝a2＋
＝0＋1－＝.
考点二　利用an与Sn的关系
例2　已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝3，且当n≥2时，Sn，，Sn－1成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝1－，若b2·b3·…·bn＝，求正整数n的值．
解　(1)方法一　由题意知当n≥2时，
Sn＋Sn－1＝nan，
∴Sn＋Sn－1＝n(Sn－Sn－1)，
整理得Sn＝Sn－1，
由S1＝a1＝3，
∴Sn＝××××…×××3＝(n2＋n)，
经检验，S1＝3也符合Sn＝(n2＋n)．
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝3n.
a1＝3也满足an＝3n，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
方法二　由题意知当n≥2时，Sn＋Sn－1＝nan，
∴当n≥3时，Sn－1＋Sn－2＝(n－1)an－1，
两式相减得an＋an－1＝nan－(n－1)an－1(n≥3)，
即(n－1)an＝nan－1，
∴＝(n≥3)，
∴当n≥3时，为常数列，
又由S2＋S1＝2a2得a2＝6，
同理可得a3＝9，
∴＝＝＝3，
∴＝＝3，即an＝3n，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
(2)由(1)得bn＝1－＝1－
＝＝×，
∴b2·b3·…·bn＝××××××…××＝.