2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题4　第4讲　空间向量与距离、探究性问题.docx

第4讲　空间向量与距离、探究性问题
[考情分析]　1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．
考点一　空间距离
核心提炼
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设＝a，则点P到直线l的距离d＝.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝.
考向1　点到直线的距离
例1　(1)(2022·广州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为(　　)
A. B.
C. D．2
答案　A
解析　因为PB⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PB⊥AB，PB⊥BC，
如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则C(1,0,0)，A(0,2,0)，
P(0,0,2)，
＝(1,0，－2)，＝(0,2，－2)，
即·＝4.
在上的投影向量的长度为
＝＝，故点C到直线PA的距离为＝.
(2)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　如图建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，
设P(x，0,1－x)，0≤x≤1，
则＝(x－1,0，－x)，＝(－1,1,0)，
∴动点P到直线A1C1的距离为
d＝
＝
＝＝≥，
当且仅当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为.
考向2　点到平面的距离
例2　(1)(2022·湖北联考)在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝PC＝1，PB＝PD＝，点E为线段PD上一点，且PE＝2ED，则点P到平面ACE的距离为______．
答案　
解析　如图，连接AC，BD交于点O，连接OP，以OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2a，则OA＝a，OB＝a，
因为PA2－OA2＝PB2－OB2，
所以1－a2＝2－3a2，
解得a＝，则OP＝，
所以A，C，
P，D，E，
则＝(0，，0)，
＝，
＝，
设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,0,2)，
所以点P到平面ACE的距离
d＝＝＝.
(2)(2022·沈阳模拟)如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为________．
答案　
解析　由棱柱的几何性质可知，A1C1∥AC，
又A1C1⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，
所以A1C1∥平面EAC，
所以点A1到平面EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，
因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，则AA1＝2，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，A1(0,0，2)，C(2,2,0)，E(0,2，)，
所以＝(2,2,0)，
＝(0,2，)，
＝(0,0,2)，
设平面EAC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝，得y＝－，z＝2，
故n＝(，－，2)，
所以点A1到平面EAC的距离
d＝＝＝，
故A1C1到平面EAC的距离为.
规律方法　(1)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．
(2)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
跟踪演练1　(1)(2022·邢台联考)PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，PA＝PB＝PC＝1，若M满足＝＋2＋3，则点M到直线AB的距离为(　　)
A. B．3
C．2 D．3
答案　D
解析　＝－＝2＋3，
则||＝
＝
＝＝，
则·＝(2＋3)·(－)
＝22－2·＋3·－3·
＝2－2×1×1×＋3×1×1×－3×1×1×＝1，
||＝＝
＝＝1，
则点M到直线AB的距离
d＝＝3.
(2)(2022·茂名模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，中心为O，＝，＝，则四面体OEBF的体积为(　　)
A.