人教版高中数学8.1 计数原理及排列组合（精讲）（提升版）（解析版）.docx

8.1 计数原理及排列组合（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 排队
【例1】（2022云南）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】（1）A99（2）A22A77（3）A1010﹣2A99+A88（4）A22A88（5）A44A77（6）A66A74（7）=A107
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种
【一隅三反】
1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式. 故答案为：B
2．（2022·河南模拟）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（　　）．
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】D
【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况，
第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况，
第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，
共有种情况，所以。故答案为：D
3.（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有
（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法）   先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法）   左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一   分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二   7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲