人教版高中数学10.3 平面向量的应用（精讲）（提升版）（解析版）.docx

10.3 平面向量的应用（精讲）（提升版）
考点呈现
例题剖析
考点一 在几何中的运用
【例1-1】（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（       ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】，,所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
【例1-2】（2022·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】因为，．
由且，得，
所以.
【例1-3】（2022·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，同理．
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，即，解得，
，又，所以．故选：C．
【例1-4】（2022·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（       ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由，
因为，所以，或，
当时，,不符合三角形内角和定理，
当时，，因此,
因此，因为的面积为，
所以有，负值舍去，即，
由余弦定理可知：，
设边的中点为，所以有，因此
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（       ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，
所以，，所以，即，
又是的平分线，所以，而，所以，
，
，所以，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练****在中，，点满足，若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点O，连接，

，即，M为BC边上靠近C的三等分点，
，
，，，
又，，.
故选：C.
3．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为.
故选：A.

考点二 三角形的四心
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****文））数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
【例2-2】（多选）（2022·全国·高三专题练****已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（       ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
【答案】ACD
【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；

C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.
故选：ACD
【一隅三反】
1．（2022农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（　　）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D
【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
2．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（