人教版高中数学1 第1讲　坐标系 新题培优练.doc

[基础题组练]
1．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1，得x2＋＝1，
即曲线C的标准方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，
于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)
，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得
t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.
又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.
4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．
解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.
由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.
因为x2＋y2－2y＝0，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)由(1)得|OA|2＝