2024年高考数学一轮复习（人教版） 第2章　§2.2　函数的单调性与最值.docx

§2.2　函数的单调性与最值
考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为f(x)的最大值
M为f(x)的最小值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．(　×　)
(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　)
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　)
(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
答案　D
2．y＝在[3,4]上的最大值为(　　)
A．2 B. C. D．4
答案　A
解析　y＝＝＝＋1，
∵y＝＋1在[3,4]上单调递减，
∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.
3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．
答案　
解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
∴2x－1≥0，即x≥，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
∴2x－1<，即x<，
则x的取值范围为.
题型一　确定函数的单调性
命题点1　函数单调性的判断
例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
答案　AC
解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，
∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．
命题点2　利用定义证明函数的单调性
例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解　方法一　设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－1<x1<x2<1，
所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
方法二　f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A. B.
C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞)
答案　B
解析　g(x)＝