人教版高中数学7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）（解析版）.docx

7.2 空间几何的体积与表面积（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 柱锥台表面积
【例1-1】（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面积为（       ）
A． B． C．32 D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积．故选：A
【例1-2】（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(       )
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，
，，，则，
设，，则，，则，
∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练****几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为，则其侧棱为，
所以顶点到底面圆圆心的距离为：，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为，
所以.故选：A.
2．（2022·福建三明·模拟预测）如图所示的建筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼——二宜楼，其外形是圆柱形，圆楼直径为73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐，若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（       ）
A．16m B．17m C．18m D．19m
【答案】A
【解析】底面直径为40m，高为10m的圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为，
设二宜楼外层圆柱墙面的高度为，则由，解得
因为二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为40m，高为10m的圆锥的侧面积的，
所以二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为，
故选：A
3．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），故选：C
考点二 柱锥台的体积
【例2-1】（2022·全国·高三专题练****已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，
所以点到平面的距离，
为球的直径，点到平面的距离为，
此棱锥的体积为，
故选：A．
【例2-2】（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（       ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.故选：D.
【例2-3】（2022·湖北·高三阶段练****已知四面体中，，则体积的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则,
由于，故 ,
则,设，
则,
所以
，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，故选：C
【一隅三反】
1．（2022·江苏）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，
又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
2．（2022·广西桂林）一