人教版高中数学7.3 空间角（精练）（提升版）（解析版）.docx

7.3 空间角（精练）（提升版）
题组一 线线角
1．（2023·全国·高三专题练****已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，.
所以，.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练****理））已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B
3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，四边形为圆台的轴截面（通过圆台上、下底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形），，C、D分别为OB，的中点，点E为底面圆弧AB的中点，则CD与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设，连接，则，
因为，所以，
又，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以即为与所成的角（或其补角）．
作，垂足为，连接OE，HE，AE，则，，
所以，．
在等腰中，．
故选：A．
4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形中，，E，F，G，H分别为边的中点，将分别沿直线翻折形成四棱锥，下列说法正确的是（       ）
A．异面直线所成角的取值范围是 B．异面直线所成角的取值范围是
C．异面直线所成角的取值范围是 D．异面直线所成角的取值范围是
【答案】C
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，由题意得，
和在平面中的投影分别在和上（如下图所示），
因为，令，则，
由比值可知，的x，y，z坐标比值为，所以令坐标为，
因为在平面中的投影在上，所以，
同理可得坐标为，
，
则，
解得，因为和的范围均为，
所以，即夹角范围是，故A，B错误；
同理可得，因为异面直线所成角范围是，则夹角范围是．即C正确，D错误；
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练****如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
题组二 线面角
1．（2023·全国·高三专题练****文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在四面体ABCD中，平面，平面，则，而，
即，又，平面，则有平面，而平面，
于是得，因P为AC的中点，即，而，平面，
则平面，又平面，从而得，
所以直线BP与AD所成的角为.
故选：D
2．（2022·河南省杞县）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把三棱柱补成如图所示长方体，连接，CD，则，
所以即为异面直线与所成角（或补角）．
由题意可得，
，，
所以．
故选：B．
3．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线与所成的角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把展开图还原成正方体如图所示，
由于且相等，故异面直线与所成的角就是和所成的角，
故 (或其补角)为所求，
再由是等边三角形，可得.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练****如图，在三棱锥中，，点O､M分别是､的中点，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：连接OB,由,O为AC的中点，得，
又底面，故,
∵点M为的中点，∴,
又∵，∴,，故平面.