2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.3　圆的方程.docx

§8.3　圆的方程
考试要求　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．
微思考
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
提示　
2．写出圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴都相切的条件．
提示　
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)
(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　)
题组二　教材改编
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案　D
解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
4．(2021·石家庄模拟)圆心在直线x－2y＋7＝0上的圆C与x轴交于两点A(－2,0)，B(－4,0)，则圆C的方程为________．
答案　(x＋3)2＋(y－2)2＝5
解析　因为直线AB的中垂线方程为x＝－3，代入直线x－2y＋7＝0，得y＝2，
故圆心的坐标为C(－3,2)，再由两点间的距离公式求得半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5.
题组三　易错自纠
5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<－2 B．－<a<0
C．－2<a<0 D．－2<a<
答案　D
解析　由方程表示圆的条件得
a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
即3a2＋4a－4<0，
∴－2<a<.
6．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　)
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
答案　ABC
解析　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)．
圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心坐标，所以A选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C选项正确；
圆是关于直径对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D选项不正确．
故选ABC.
题型一 圆的方程
1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
答案　C
解析　方法一　(待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得解得
所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，
即2＋y2＝.
方法二　(几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．
由题意知圆E的圆心又